Question

4．求圆心在l₁：y-3x=0上，与x轴相切，且被直线l₂：x-y=0截得弦长为$2\sqrt{7}$的圆的方程．

Answer 1

分析 根据题意，设圆心为C（a，3a），算出点C到直线x-y=0的距离，根据垂径定理建立方程，由于所求的圆与x轴相切，所以r²=9a²，即可得到所求圆的方程．

解答 解：由已知设圆心为（a，3a）--------（1分）
与轴相切则r=|3a|---------（2分）
圆心到直线的距离$d=\frac{{|{2a}|}}{{\sqrt{2}}}$----------（3分）
弦长为$2\sqrt{7}$得：$7+\frac{{4{a^2}}}{2}=9{a^2}$-------（4分）
解得a=±1---------（5分）
圆心为（1，3）或（-1，-3），r=3-----------（6分）
圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=9---------（7分）
或（x+1）²+（y+3）²=9----------（8分）

点评 本题给出圆满足的条件，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．