题目内容

14．校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有144种．

分析 利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，即可得出结论．

解答 解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，
其中恰好2道题未被选的有${C}_{4}^{2}（{C}_{4}^{3}{A}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}）$=84、恰好3道未被选（四人选了同一道题，有4种）、恰好0道题未被选的（四道题都被选，有${A}_{4}^{4}$=24种）．
故共有256-84-4-24=144种．
故答案为：144．

点评 本题考查计数原理的应用，考查间接法，解题的关键是去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，属于中档题．

练习册系列答案
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4．已知函数f（x）=ln（x+m）+2x2在点P（0，f（0））处切线方程与x+y=0垂直．若所有x1＞x2＞-m，f（x1）-f（x2）＞a（x1-x2）恒成立，求实数a的取值范围．
5．对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时{xn}是周期为1的周期数列，当yn=sin（$\frac{π}{2}$n）时{yn}是周期为4的周期数列．
（Ⅰ）设数列{an}满足an+2=an+1-an（n∈N*），a1=a，a2=b（a，b不同时为0），求证：数列{an}是周期为6的周期数列，并求数列{an}的前2013项的和S2013；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；
②若anan+1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；
（Ⅲ）设数列{an}满足an+2=an+1-an+1（n∈N*），a1=2，a2=3，数列{an}的前n项和为Sn，试问是否存在p，q，使对任意的n∈N*都有p≤（-1）n$\frac{S_n}{n}$≤q成立，若存在，求出p，q的取值范围；不存在，说明理由．
2．已知函数f（x）是定义在足上的奇函数，它的图象关于直线x=l对称，且f（x）=x（0＜x≤1）．若函数 y=f（x）-$\frac{1}{x}$-a以在区间[-10，10]上有10个零点（互不相同），则实数口的取值范围是$[-\frac{1}{10}，\frac{1}{10}]$．
9．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A．f（x）=$\root{5}{{x}^{5}}$与f（x）=$\sqrt{{x}^{2}}$B．y=x与$y=\root{3}{x^3}$
C．$y=\frac{（x-1）（x+3）}{x-1}$与y=x+3D．y=1与y=x0
19．已知圆M：x2+y2+4x-2y+3=0，直线l过点P（-3，0），圆M的圆心坐标是（-2，1）；若直线l与圆M相切，则切线在y轴上的截距是-3；若直线l与圆M相交，则截得的最长弦长为2$\sqrt{2}$．
6．已知数列{an}中，$a_1^{\;}=\frac{1}{4}$，其前n项的和为Sn，且满足an=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{{2S}_{n}-1}$（n≥1）．
（Ⅰ） 求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ） 证明：S1+$\frac{1}{2}$S2+$\frac{1}{3}$S3+…+$\frac{1}{n}$Sn＜$\frac{1}{2}$．
3．已知f（1+$\frac{1}{x}$）=1+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求f（x）
4．求（$\frac{1}{4}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$×$\frac{（\sqrt{a{b}^{-1}}）^{3}}{（0.1）^{-2}（{a}^{3}•{b}^{-3}）^{\frac{1}{2}}}$的值．

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