Question

6．已知数列{a_n}中，$a_1^{\;}=\frac{1}{4}$，其前n项的和为S_n，且满足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{{2S}_{n}-1}$（n≥1）．
（Ⅰ） 求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（Ⅱ） 证明：S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，${S_n}-{S_{n-1}}=\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$，变形为$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，即可证明；
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=4+2（n-1）=2n+2，${S_n}=\frac{1}{2（n+1）}$，可得$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）当n≥2时，${S_n}-{S_{n-1}}=\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$，
化为S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，
从而$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$构成以4为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=4+2（n-1）=2n+2，
∴${S_n}=\frac{1}{2（n+1）}$，
∴$\frac{1}{n}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{2}$．
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、“放缩法”、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．