Question

（2010•重庆一模）已知向量

OA

=（mcosα，msinα）（m≠0），

OB

=（-sinβ，cosβ

)

．其中O为坐标原点．
（I）若α=β+

π

6

且m＞0，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（II）当实数α，β变化时，求实数|

OA

|-2|

OB

|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件 α=β+

π

6

代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．
（II）先将|

OA

|-2|

OB

|利用向量模的计算公式表示成

1+m2+2msin(β-α)

-2，再利用三角函数的值域求出它的最大值即可．

解答：解：（I）设它们的夹角为θ，则：
cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

=

m(-cosαsinβ+sinαcosβ)

m

=sin(α-β)=sin

π

6

=

1

2

，
故θ=

π

3

…（6分）
（II）|

AB

|-2|

OB

|=

(-sinβ-mcosα)2+(cosβ-msinα)2

-2
=

1+m2+2msin(β-α)

-2…（10分）
所以当m＞0时，原式的最大值是m-1；
当m＜0时，原式的最大值是-m-1…（12分）

点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决向量的模的最值问题，一般转化为函数的最值来解决．