Question

（2010•重庆一模）设函数f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=

a

x

．
（I）若函数f（x），g（x）在[1，2]上都是减函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=1时，设函数h（x）=f（x）g（x），若h（x）在（0，+∞）内的最大值为-4，求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）直接根据二次函数、反比例函数单调性列出关于a的方程组，并解即可得出实数a的取值范围．
（II）当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=

-x2+2x+m

x

=-x+

m

x

+2，利用单调性或基本不等式探讨出最大值情况，再确定实数m的值．

解答：解：（I）f（x），g（x）在[1，2]上都是减函数．

a≤1 a＞0

⇒0＜a≤1．…（4分）
（II）当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=

-x2+2x+m

x

=-x+

m

x

+2，…（6分）
当m≥0时，显然h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）无最大值；…（8分）
当m＜0时，h(x)=-x+

m

x

+2=-(x+

(-m)

x

)+2≤-2

-m

+2，…（10分）
当且仅当x=

-m

时，等号成立，
∴h(x)max=-2

-m

+2-2

-m

+2=-4⇒m=-9…（13分）

点评：本题考查初等函数的单调性，函数的最值求解，基本不等式的应用，考查计算、分类讨论能力．