Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=

1

2

a_n+1-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；     
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意知，

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又

a1

21

=1，由等差数列的定义可证数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）由（1）知a_n=n•2ⁿ，S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ；利用错位相减法即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵a₁=2，a_n=

1

2

a_n+1-2ⁿ，
∴

an

2n

=

an+1

2n+1

-1，即

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又

a1

21

=1，
∴数列{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）知，

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ；①
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹；②
①-②得：-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及错位相减法求和，求得数列{a_n}的通项公式是关键，属于中档题．