Question

在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，,,.

（1）求证：面；
（2）求证：面面；
（3）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）能确定，.

试题分析：（1）先证明为平行四边形，所以，即证明；（2）先证明面，所以，再证明 面，从而得到面面；（3）先建立空间直角坐标系，所以即为面法向量，令面法向量为，利用夹角的余弦求出，又在棱上，所以对的值进行取舍.
试题解析：（1）证明：记中点为. 连结、 ，
则 AB  FE 所以AB FE     1分
所以为平行四边形.                      2分
又,             4分
（2）连结在直角梯形中.，，，所以，   5分
面，  6分
又 ， ∴ 面，  7分
而面 面面      8分

（3）以为原点, 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.
，，，，
令，∵，∴又面
∴即为面法向量
又令面法向量为，则
令，∴
又二面角为
，即
解得
又在棱上 ∴ ∴为所求.