Question

如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．

（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）先以点为坐标原点建立空间直角坐标系，并以此确定、、、四点的坐标，通过验证来达到证明的目的；（Ⅱ）求出平面与平面各自的法向量，利用空间向量法求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
试题解析：（1），．
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得，，，，，

．
由，
得， ．  
（2）由（1）知，．
设平面的法向量为，
由，得，
令得，，，
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．