Question

10．已知数列{a_n}、{b_n}，其中，${a_n}=\frac{1}{{2（{1+2+3+…+n}）}}$，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有$1+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜\frac{m-8}{4}$恒成立？若存在，求出m的最小值；
（3）若数列{c_n}满足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n{a_n}}}，n为奇数}\\{{b_n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列前n项和公式和等比数列性质能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）设f（n）=1+$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$，由等比数列前n项和公式求出f（n）=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，$f（n+1）-f（n）=\frac{1}{{2}^{n+1}}$＞0，从而f（n）＜2，由此能求出m的最小值．
（3）由已知得数列{c_n}满足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n+1，n为奇数}\\{{2^n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，由此利用分类讨论思想能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}、{b_n}，其中，${a_n}=\frac{1}{{2（{1+2+3+…+n}）}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2×\frac{n（n+1）}{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∵数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b_n=2ⁿ．
（2）设f（n）=1+$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$，
则f（n）=$（\frac{1}{2}）^{0}+（\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n}$
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$f（n+1）-f（n）=\frac{1}{{2}^{n+1}}$＞0，
∵f（n）在n∈N⁺，n≥2时单调递增，
∴f（n）＜2，
∵存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有$1+\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜\frac{m-8}{4}$恒成立，
∴$\frac{m-8}{4}≥2，m≥16$，
解得m的最小值为16．
（3）∵数列{c_n}满足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n{a_n}}}，n为奇数}\\{{b_n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，
∴${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{n+1，n为奇数}\\{{2^n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，
当n为奇数时，${T_n}=（\frac{1}{a_1}+\frac{1}{{3{a_3}}}+…+\frac{1}{{n{a_n}}}）+（{b_2}+{b_4}+…+{b_{n-1}}）$
=[2+4+…+（n+1）]+（2²+2⁴+…+2^n-1）
=$\frac{2+n+1}{2}•\frac{n+1}{2}+\frac{{4（1-{4^{\frac{n-1}{2}}}）}}{1-4}$
=$\frac{{{n^2}+4n+3}}{4}+\frac{4}{3}（{2^{n-1}}-1）$，
当n为偶数时，${T_n}=[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{{3{a_3}}}+…+\frac{1}{{（n-1）{a_{n-1}}}}]+（{b_2}+{b_4}+…+{b_n}）$
=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=$\frac{2+n}{2}•\frac{n}{2}+\frac{{4（1-{4^{\frac{n}{2}}}）}}{1-4}$=$\frac{{{n^2}+2n}}{4}+\frac{4}{3}（{2^n}-1）$．
因此${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{n^2}+4n+3}}{4}+\frac{4}{3}（{2^{n-1}}-1），n为奇数}\\{\frac{{{n^2}+2n}}{4}+\frac{4}{3}（{2^n}-1），n为偶数}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的合理运用．