Question

【题目】椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可知点在椭圆上，利用椭圆的定义可求得值，结合的值可求得的值，进而可求得椭圆的标准方程；

（2）设、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，结合韦达定理求得的值，再由三角形的面积公式可求得的面积.

（1）依题意有，椭圆的焦点坐标为，且点在椭圆上，

由椭圆的定义可得，

即，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设、，由，得．

由题意直线的斜率存在，所以设直线的方程为，

代入椭圆方程整理，得，

所以，．

将代入上式可得，，解得．

所以的面积.