题目内容
【题目】已知抛物线
，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的投影分别P、Q．
（1）已知
，若
，求直线l的方程；
（2）设P、Q的中点为M，请判断PF与MB的位置关系并说明理由．
【答案】（1）
（2）
．见解析
【解析】
（1）将抛物线方程化为
，求出焦点
，设
，
，根据向量的坐标运算由
可得
，再根据
，
，两式相减求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.
（2）依题意求出抛物线C的准线方程为：
，设直线l的方程为：
，将直线与抛物线联立消y得
，由韦达定理可得
，
，然后由一直求出
，
，利用向量共线的坐标表示即可求解.
解：（1）抛物线
，化为，
所以抛物线C的焦点
设，，
所以
，
，
，
由，得，
又，，两式相减得：
，
所以
，
所以直线l的方程为：．
（2），理由如下：
依题意可知抛物线C的准线方程为：，
依题意可设直线l的方程为：，
联立
消y得，
所以，，
又
，
，
，
所以，
，
因为
所以
，所以．
【题目】某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表：
（1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小数）；
（2）得分90分及以上为成绩优秀，完成下边列联表，并判断是否有
的把握认为成绩优秀与培训方式有关？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
线下培训 | |||
在线培训 | |||
合计 |
附：
．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某工厂改造一废弃的流水线M，为评估流水线M的性能，连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为X.
第一天
直径/mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
第二天
直径/mm | 58 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 21 | 34 | 21 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 100 |
经计算，第一天样本的平均值
，标准差
第二天样本的平均值
，标准差
（1）现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.
（i）计算这两天抽取200件样本的平均值
和标准差
（精确到0.01）；
（ii）现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率），①
；②
；③
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M的性能等级.
（2）将直径X在
范围内的零件认定为一等品，在
范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设
为抽到次品的件数，求分布列及其期望.
附注：参考数据：
，
，
；
参考公式：标准差
.
【题目】国家规定每年的
月
日以后的
天为当年的暑假.某钢琴培训机构对
位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：
授课量（单位：小时） |
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频数 |
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培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：
课时量（单位：天） |
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频数 |
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（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；
（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为
元/小时，每天的各类生活成本为
元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于
万元的概率.
