Question

【题目】已知函数，.

（l）设，讨论函数的单调性；

（2）若函数的图象在上恒在轴的上方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）先求导函数，然后通过对和讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间；

（2）“若函数的图象在上恒在轴的上方”等价于“不等式在上恒成立”， 即不等式在上恒成立，即不等式可转化为在上恒成立，然后构造函数，只需在上最大值小于零即可，从而可求出的取值范围.

（1），，

.

①若，，，函数的单调减区间是，无单调增区间；

②若，令，得；

令，得，

所以函数的单调减区间是，单调增区间是.

综上所述，若，函数的单调减区间是，无单调增区间；

若，函数的单调减区间是，单调增区间是.

（2）“若函数的图象在上恒在轴的上方”等价于“不等式在上恒成立”，

即不等式在上恒成立，

即不等式可转化为在上恒成立.

令，

则.

①若，则，在上单调递减，

所以，不等式恒成立等价于，即；

②若，则，当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，不符合题意；

③若，当时，，在上单调递增，

所以，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.