Question

【题目】设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足，记点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，斜率为的直线与曲线交于不同的两点，，且满足，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设点，，则，根据可得再由点在圆上，将代入化简即可.

（2）当时，显然满足题意，当时，设：，与椭圆联立方程组可得，由题意，即，①设，，得到的中点的坐标，根据，则有，即，可得，②，将②代入①求解即可.

（1）设点，，则，

故，，

由可得，

因为点在圆上，所以，

所以，

即曲线的方程为．

（2）当时，显然满足题意，当时，设：，

联立方程组可得，即，

由题意，即，①

设，，

由根与系数的关系可得：，，

则的中点，

又因为，所以，

所以，即，

化简可得，②

将②代入①可得，化简可得，

解得，综上可得的取值范围是．