Question

16．下列函数中，奇函数的个数是（　　）
①f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，②g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），③h（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），④m（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据各个函数的解析式先求出定义域，由对数、指数的运算分别化简后，根据函数奇偶性的定义进行判断．

解答 解：①、由$\frac{1-x}{1+x}＞0$得（1-x）（1+x）＞0，解得-1＜x＜1，
则函数f（x）的定义域是（-1，1），
且f（-x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$=-ln$\frac{1-x}{1+x}$=-f（-x），所以函数f（x）是奇函数；
②、函数g（x）的定义域是R，
且g（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x+e^x）=g（x），则函数g（x）是偶函数；
③、因$\sqrt{1+{x}^{2}}-x＞0$恒成立，所以函数h（x）的定义域是R，
且h（-x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}+x$）=lg$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}-x}$=-lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）=-h（x），
所以函数h（x）是奇函数；
④、由2^x-1≠0得x≠0，函数h（x）的定义域是{x|x≠0}，
且m（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{{1-2}^{x}}+\frac{1}{2}$=$\frac{{-2}^{x}}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$
=$\frac{{-（2}^{x}-1）-1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$=-m（x），
所以函数m（x）是奇函数，
综上可得，奇函数为①③④，共3个，
故选C．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，对数、指数的运算，以及函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及定义域的对称性是解决本题的关键，考查化简、变形能力．