Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，若椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则|k₁•k₂|=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 设A（m，n），B（-m，-n），P（x，y），代入椭圆方程，两式相减，再由斜率公式，离心率公式，结合a，b，c的关系，可得k₁•k₂=-$\frac{1}{2}$，则答案可求．

解答 解：设A（m，n），B（-m，-n），P（x，y），
则有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减得，$\frac{{m}^{2}-{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{b}^{2}}=0$，
则有$\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{m}^{2}-{x}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
由于椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
即有-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，∴$\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{m}^{2}-{x}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
k₁•k₂=$\frac{n-y}{m-x}•\frac{n+y}{m+x}$=$\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{m}^{2}-{x}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴|k₁•k₂|=$|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的性质，考查直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．