Question

17．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-m．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）若x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{3π}{4}$]时，函数f（x）的最大值为0，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），求出f（x）在最小正周期，解不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）根据x的范围，求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，得到关于m的方程，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-m
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$-m
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-m-$\frac{1}{2}$，
则函数f（x）的最小正周期T=π，
根据-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z；
（2）因为x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{3π}{4}$]，所以2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{4π}{3}$]，
则当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数取得最大值0，
即1-m-$\frac{1}{2}$=0，解得：m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的周期和函数的单调区间，考查函数的最值问题，是一道中档题．