Question

9．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于$\frac{2}{3}$；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点（-2，-4）．

Answer 1

分析 （1）直接由已知求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）分焦点在x轴和y轴两种情况设出椭圆的方程，代入已知点的坐标求得待定系数，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）由已知2a=12，e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，得a=6，c=4，从而b²=a²-c²=20，
又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$；
（2）∵2a=2×2b，∴a=2b，
当焦点在x轴上时，设方程为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∵点（-2，-4）在椭圆上，∴$\frac{4}{4{b}^{2}}+\frac{16}{{b}^{2}}=1$，得b²=17，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{68}+\frac{{y}^{2}}{17}=1$；
当焦点在y轴上时，设方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，
∵点（-2，-4）在椭圆上，∴$\frac{4}{{b}^{2}}+\frac{16}{4{b}^{2}}=1$，得b²=8，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{68}+\frac{{y}^{2}}{17}=1$或$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法和待定系数法，是基础题．