Question

15．若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则f（x）=$\frac{3si{n}^{2}x-2}{sinxcosx+co{s}^{2}{x}^{\;}}$的最大值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=tanx+1-2-$\frac{1}{tanx+1}$，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]和函数的单调性可得．

解答 解：化简可得f（x）=$\frac{3si{n}^{2}x-2}{sinxcosx+co{s}^{2}{x}^{\;}}$
=$\frac{3si{n}^{2}x-2si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}{sinxcosx+co{s}^{2}x}$=$\frac{si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}{sinxcosx+co{s}^{2}x}$
=$\frac{ta{n}^{2}x-2}{tanx+1}$=$\frac{（tanx+1）^{2}-2（tanx+1）-1}{tanx+1}$
=tanx+1-2-$\frac{1}{tanx+1}$
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴tanx∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，
∴函数f（x）=tanx+1-2-$\frac{1}{tanx+1}$为增函数，
∴最大值为1+1-2-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及弦化切的思想和函数的单调性，属中档题．