Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，2a₁，S_n+1，S_n成等差数列．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想通项S_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）通过2a₁，S_n+1，S_n成等差数列可知S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a₁，利用₁=1代入计算即得结论；
（2）通过（1）猜想通项S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵2a₁，S_n+1，S_n成等差数列，
∴S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a₁，
又∵a₁=1，
∴S₁=a₁=1，
S₂=$\frac{1}{2}$S₁+a₁=$\frac{3}{2}$，
S₃=$\frac{1}{2}$S₂+a₁=$\frac{7}{4}$，
S₄=$\frac{1}{2}$S_n+a₁=$\frac{15}{8}$；
（2）猜想通项S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
证明如下：
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有S_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，
则S_k+1=$\frac{1}{2}$S_k+a₁
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$+1
=$\frac{{2}^{k}-1+{2}^{k}}{{2}^{k}}$
=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．