Question

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．
（1）求的极值；
（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当时，取极小值，其极小值为（2）函数和存在唯一的隔离直线

试题分析：(1) ，
．        
当时，．                     
当时，，此时函数递减； 
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为．   …………………………………6分   
(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．          
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．                                
由，可得当时恒成立．
，                             
由，得．                       
下面证明当时恒成立．
令，则
，                
当时，．
当时，，此时函数递增；
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．   
从而，即恒成立．            
∴函数和存在唯一的隔离直线．……………12分 
解法二： 由(1)可知当时， (当且仅当时取等号) ．
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和恒成立，
令，则且
，即．                    
后面解题步骤同解法一．
点评：求函数极值要首先确定定义域，通过导数等于零找到极值点，但要说明是极大值还是极小值，第二问中将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，这种转化思路是函数综合题中常用的思路，其中找到函数和的图象在处有公共点是求解的关键