Question

已知函数y=

4-x2

+

2x-2

的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，求函数f（x）=2（log₂x）²+alog₂x的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）函数y=

4-x2

+

2x-2

有意义知

4-x2≥0 2x-2≥0

；从而求M；
（2）换元法令t=log₂x，t∈[0，1]；从而可得g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，对称轴t=-

a

4

；从而讨论对称轴以确定函数的最大值．

解答： 解：（1）函数y=

4-x2

+

2x-2

有意义，
故

4-x2≥0 2x-2≥0

；
解得，x∈[1，2]；
故M=[1，2]．
（2）f(x)=2log22x+alog2x，令t=log₂x，t∈[0，1]；
可得：g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，
对称轴t=-

a

4

；
当-

a

4

≤

1

2

，即a≥-2时，
g（1）=2+a≥0，g（0）=0；
g_max（t）=g（1）=2+a；
当-

a

4

＞

1

2

，即a＜-2时，
g_max（t）=g（0）=0；
综上可得：f(x)max=

2+a，a≥-2 0，a＜-2

．

点评：本题考查了函数的定义域的求法及换元法求函数的最值的求法，属于中档题．