Question

已知函数f（x）=ax³-3x+1，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＞0，则a的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（1，2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：据题中函数特征，当a=0时，函数f（x）=-3x²+1显然有两个零点且一正一负；
分类讨论的运用 当a＞0时，求导可得单调区间，存在负零点； 当a＜0时，求导可得；满足：

f( 2 a )＞0 f(0)＞0

，即可得出答案．

解答： 解：（1）当a=0时，函数f（x）=-3x²+1显然有两个零点且一正一负；
（2）当a＞0时，求导可得：f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
利用导数的正负与函数单调性的关系可得：
x∈（-∞，0）和x∈(

2

a

，+∞)时函数单调递增； x∈(0，

2

a

)时函数单调递减，
显然存在负零点； 
（3）当a＜0时，求导可得：f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
利用导数的正负与函数单调性的关系可得：
x∈(-∞，

2

a

)和x∈（0，+∞）时函数单调递减； x∈(

2

a

，0)时函数单调递增，
欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：

f( 2 a )＞0 f(0)＞0

，
即得：a×(

2

a

)3-3(

2

a

)2+1＞0，
可解得：a²＞4，则a＞2（舍去），a＜-2．
故选：D

点评：本题考查了函数的导数在判断函数的单调性的运用，函数的零点的判断即应用，属于难题．