Question

14．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，若$\overrightarrow{CE}$=$3\overrightarrow{EB}$，则（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AE}$=8．

Answer 1

分析 由题，已知∠BAC=120°，AB=AC=4，可将问题转化为以向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$为基底的向量线性运算．或者由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0分析得AD⊥BC，且D为线段BC的中点，又根据$\overrightarrow{CE}$=$3\overrightarrow{EB}$可得E为BD的中点，故问题转化为以向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$为基底的向量线性运算．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0
∴AD⊥BC
又∵AB=AC=4，∠BAC=120°
∴D为BC的中点，且∠BAD=60°，AD=2
∴（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AD}$•$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=2×4×cos60°+2²
=8
故填空：8．

点评 考查平面向量基本定理，平面向量线性运算，属于基础题．