Question

5．三棱锥P-ABC中，已知PA=PB=PC=AC=4，BC=$\sqrt{3}$AB=2$\sqrt{3}$，O为AC中点．
（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求异面直线AB与PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）直线垂直平面，只需要证明直线垂直平面内的两条相交直线即可．由题意，因为PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，连接OP，OB，易得：OP⊥AC，同理可证△ABC为Rt△，OP⊥OB，AC∩BO=O且AC、OB?面ABC可得OP⊥平面ABC．
（2）利用O为AC中点，分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角．放在等腰三角形EOF即可求解．

解答 解：（1）证明：由题意，∵PA=PB=PC=AC=4，AC的中点O，
连接OP，OB，易得：OP⊥AC；
∵$OP=\sqrt{P{C^2}-O{C^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$，
$AC=4，AB=2，BC=2\sqrt{3}$，
∴AC²=AB²+BC²，
故得△ABC为Rt△，
∴OB=OC=2，PB²=OB²+OP²，
∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB?面ABC，
∴OP⊥平面ABC；
（2）分别取PB，BC中点EF，连接OE，OF，EF，
则AB∥OF，PC∥EF，故，∠EFO为异面直线AB与PC所成角（或补角）
由（Ⅰ）知在直角三角形POB中，$OE=\frac{1}{2}PB=2$，
又$OF=\frac{1}{2}AB=1$，$EF=\frac{1}{2}PC=2$；
在等腰三角形EOF中，$cosEFO=\frac{{\frac{1}{2}OF}}{EF}=\frac{{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{4}$．
所以，异面直线AB与PC所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中低档题．