Question

如图，已知ABCD是圆锥SO底面圆O的内接矩形．
①当AB=AD时，判断直线SA与直线BD的位置关系（不要证明）；
②设E为SA的中点，G为△AOD的重心，求证：EG∥平面SDC；
③若圆锥SO侧面展开图示半径长为3，面积为3π的扇形，求圆锥SO的体积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：①利用BD⊥平面SAC，可得SA⊥BD；
②延长OG交AD于H，则H为AD中点，连接EH，证明平面EGH∥平面SDC，可得∥平面SDC；
③求出圆锥的半径与高，即可求圆锥SO的体积．

解答： ①解：当AB=AD时，SA⊥BD．
∵ABCD是圆锥SO底面圆O的内接矩形，AB=AD，
∴BD⊥AC，BD⊥SO
∵SO∩AC=O，
∴BD⊥平面SAC，
∴SA⊥BD；
②证明：延长OG交AD于H，则H为AD中点，
连接EH，则在△SAD中，EH∥SD，
∵EH?平面SDC，SD?平面SDC，
∴EH∥平面SDC，
同理GH∥平面SDC，
∵EH∩GH=H，
∴平面EGH∥平面SDC，
∵EG?平面EGH，
∴EG∥平面SDC，
③设圆锥的底面半径长为r，母线长为l，则l=3，πrl=3π，
∴r=1，
∴圆锥SO的体积

1

3

•π•12•

32-12

=

2 2 π

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查圆锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．