Question

设数列{a_n}前n项和S_n，已知2a_n-2ⁿ=S_n．
（1）证明{a_n-n•2^n-1}是等比数列；
（2）求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由2a_n-2ⁿ=S_n，可得当n≥2时，2an-1-2n-1=Sn-1，两式相减即可证明．
（2）由（1）利用等比数列的通项公式即可得出an-n•2n-1=（2-1）×2^n-1．

解答： （1）证明：∵2a_n-2ⁿ=S_n，∴当n≥2时，2an-1-2n-1=Sn-1，两式相减可得2an-2an-1-2n-1=a_n．
化为an-n•2n-1=2[an-1-(n-1)•2n-2]，
又2a₁-2=a₁，解得a₁=2．
∴{a_n-n•2^n-1}是等比数列；
（2）解：由（1）可得an-n•2n-1=（2-1）×2^n-1，
∴a_n=（n+1）×2^n-1．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．