Question

【题目】(2015·陕西）设fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
（1）fn'(2)
（2）证明:fn(x)在（0，）内有且仅有一个零点（记为an)， 且0<an-<()n.

Answer 1

【答案】
（1）

fn'(2)=（n-1）2n+1

（2）

见解析。

【解析】
（1）由题设fn'(x)=1+2x+...+nxn-1, 所以fn'(2)=1+2x2+...+n2n-1, 此式等价于数列{n·2n-1}的前n项和， 由错位相减法得fn'(2)=（n-1）2n+1。
（2）因为f(0)=-1<0, fn'()=1-2x()n≥1-2x()2>0, 所以fn(x)在在（0，）内至少存在一个零点，又fn'(x)=1+2x+...+nxn-1>0, 所以fn(x)在（0，）内单调递增， 因此，fn(x)在（0，）内有且只有一个零点an, 由于fn(x)=-1, 所以0=fn(an)=-1, 由此可得an=+ann+1>,故<an<, 继而得0<an-=ann+1<x()n+1=x()n