题目内容
【题目】设函数
,
.
（1）（I）求
的单调区间和极值；
（2）（II）证明：若存在零点，则的区间（1，
]上仅有一个零点。
【答案】
（1）
f(x)的单调递减区间是（0，
），单调递增区间是
；
f(x)在
处取得极小值
。
（2）
见解答
【解析】
（I）由
，（）得
.由f(x)=0解得。
f(x)与f(x)在区间（0，+
）上的情况如下：
x | (0, |
| ( |
f'(x) | - | + | |
f(x) |
|
|
|
所以，f(x)的单调递减区间是（0，），单调递增区间是；
f(x)在处取得极小值。
（II）因为f(x)存在零点，所以
，
。
当k=e时，f(x)在区间（1，
）上单调递减，且
,
所以x=时，f(x)在区间（0，）上单调递减，且f(1)=
0,
,
所以f(x)在区间（1，]上仅有一个零点。
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则和利用导数研究函数的单调性，需要了解若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减才能得出正确答案．
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