Question

设P1，P2，…，Pj为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数．

（1）求a22的值；

（2）求aij的表达式．

Answer 1

1）由题意得P1，P2为集合P＝{1，2}的子集，

   因为P1∩P2＝，

     所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：

      1P1，且1 P2；1P1，且1 P2；1P1，且1P2；

        同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，

     根据分步乘法原理得，a22＝3×3＝9；                       

  （2）考虑P＝{1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：

         1不属于P1，P2，…，Pj中的任何一个，共C种；

         1只属于P1，P2，…，Pj中的某一个，共C种；

         1只属于P1，P2，…，Pj中的某两个，共C种；

         ……

      1只属于P1，P2，…，Pj中的某(j－1)个，共C种，

    根据分类加法原理得，元素“1”共有C＋C＋C＋…＋C＝2－1种情形，

同理可得，集合P＝{1，2，…，i}中其它任一元素均有(2－1)种情形，

         根据分步乘法原理得，aij＝(2－1)i．