Question

【题目】设函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）若对任意及任意，恒有成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极小值为1,无极大值；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）当时，求得函数的导数，求得函数的单调性，进而求得函数的极值；

（2）时，求得函数导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案；

（3）由（2）知当时，在上单调递减，求得，

得到，令，转化为对恒成立，从而求出m的范围．

（1）由题意得，函数定义域为，

当时，函数，则，

令，解得；令，解得，

所以函数在区间上递减，在上递增．

所以当时，有极小值为．

（2）当时，求得函数的导数

当时，解得和．

①当时，恒成立，此时在上递减；

②当，即时，

令，解得，令，解得，

所以在上递增，在和上递减；

③当，即时，

令，解得，令，解得或，

所以在上递增，在和上递减．

（3）由（2）知当时，在区间上单调递减，

所以，

要使对任意，恒有成立

则有，

即对任意成立，即对任意成立，

令，则对恒成立，

所以在上单调递增，所以，

故m的取值范围为．