Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，．

（1）求证：平面平面；

（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）证明，推出面，得到，证明，说明面，即可证明面平面．

（2）取中点，以点为原点，分别以为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，求出面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值．

（1）由题意，因为，则，

又侧面底面，面面，面，

所以面，又面，则

又因为四边形为平行四边形，且

则为等边三角形，则为菱形，则

又，则面，面，则面平面．

（2） 取中点，以点为原点，分别以为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，

由点为中点，，

则，

设面的法向量为，则，则

设直线与面所成角为，则

所以直线与平面所成角的正弦值为．