题目内容
3．若x，y是正实数，且$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2y+1}=\frac{1}{3}$，则x2+4y2-26xy的最小值为-300．分析 由条件可得y=$\frac{2x+5}{2x-4}$（x＞2），代入所求式，设为F（x），求出导数，求得单调区间，可得极值，进而得到最值．
解答 解：由$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2y+1}=\frac{1}{3}$，可得y=$\frac{2x+5}{2x-4}$（x＞2），
记F（x）=x2+4y2-26xy=x2+$\frac{（2x+5）^{2}}{（x-2）^{2}}$-$\frac{13x（2x+5）}{x-2}$，
F′（x）=2x+$\frac{2（2x+5）（-x-7）}{（x-2）^{3}}$-$\frac{26（x-5）（x+1）}{（x-2）^{2}}$，
由F′（x）=0，可得（x+1）（x-5）（x2-15x+35）=0，
解得x1=-1（舍），x2=$\frac{15-\sqrt{85}}{2}$≈2.89，x3=5，x4=$\frac{15+\sqrt{89}}{2}$≈12.11，
显然F（x）在（2，x2）上递减，在（x2，x3）递增，在（x3，x4）递减，在（x4，+∞）递增，
故在x2处取得极小值，在x3处取得极大值，在x4处取得极小值．
则F（x2）=F（x4）=-300．
则有x2+4y2-26xy的最小值为-300．
故答案为：-300．
点评 本题考查函数的最值的求法，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，属于中档题．
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