题目内容
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+2n=an.求证数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.分析 由Sn+2n=2an可求出a1的值,当n≥2时Sn-1=2an-1-2(n-1),两个式子相减化简后得到递推公式,根据等比数列的定义证明数列{an+2}是等比数列,由等比数列的通项公式求出an.
解答 证明:由Sn+2n=2an得 Sn=2an-2n,
当n∈N*时,Sn=2an-2n,①
当n=1时,S1=2a1-2,则a1=2,
则当n≥2,n∈N*时,Sn-1=2an-1-2(n-1),②
①-②得,an=2an-2an-1-2,即an=2an-1+2,
所以an+2=2(an-1+2),则$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}$=2,
所以{an+2}是以a1+2=4为首项,以2为公比的等比数列.
则an+2=4•2n-1,即an=2n+1-2.
点评 本题考查等比数列的通项公式、定义,以及数列前n项和Sn与an的关系式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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16.已知a=$\sqrt{2}$,c=2,∠A=30°,则∠C=( )
A. | 45° | B. | 60° | C. | 45°或135° | D. | 60°或120° |
20.已知点P(x1,y1)、Q(x2,y2)满足(2x1-3y1)(2x2-3y2)>0,且|2x1-3y1|>|2x2-3y2|,则( )
A. | 直线2x-3y=0与线段PQ相交 | |
B. | 直线2x-3y=0与线段PQ的延长线相交 | |
C. | 直线2x-3y=0与线段QP的延长线相交 | |
D. | 直线2x-3y=0与直线PQ不相交 |