题目内容
15.数列{an}中,a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{1}{2}$an+($\frac{1}{2}$)n+1,则{an}的通项公式为an=$\frac{n}{{2}^{n}}$.分析 通过将等式an+1=$\frac{1}{2}$an+($\frac{1}{2}$)n+1两边同时除以$\frac{1}{{2}^{n+1}}$、化简可知数列{$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$}是以首项、公差均为1的等差数列,进而计算可得结论.
解答 解:∵an+1=$\frac{1}{2}$an+($\frac{1}{2}$)n+1,
∴$\frac{{a}_{n+1}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{n+1}}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$+1,
又∵$\frac{{a}_{1}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=1,
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$}是以首项、公差均为1的等差数列,
∴$\frac{{a}_{n}}{\frac{1}{{2}^{n}}}$=n,
∴an=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
故答案为:an=$\frac{n}{{2}^{n}}$.
点评 本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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B. | 直线2x-3y=0与线段PQ的延长线相交 | |
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