Question

已知（+）ⁿ展开式中偶数项二项式系数和比（a+b）²ⁿ展开式中奇数项二项式系数和小120，求：
（1）（+）ⁿ展开式中第三项的系数；   
（2）（a+b）²ⁿ展开式的中间项．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得2^n-1+120=2^2n-1，求得 n=4．可得（+）ⁿ展开式中第三项为 T₃=•，运算求得结果．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的开式的中间项为T₅=•a⁴•b⁴，运算求得结果．
解答：解：（1）由题意可得2^n-1+120=2^2n-1，故有 （2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，故2ⁿ=16，解得 n=4．
故（+）ⁿ展开式中第三项为 T₃=•=．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的开式的中间项为T₅=•a⁴•b⁴=70a⁴b⁴．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．