Question

已知二项式(

x

-

1

3 x

)n展开式中的常数项等于抛物线y=x²+2x在P（m，24）处的切线（P点为切点）的斜率，则(

x

-

1

3 x

)n展开式中系数最大的项的项数是（　　）

A．3和4

B．3

C．4

D．4和5

Answer 1

分析：把点P的坐标代入抛物线方程求得m=-6，或 m=4，再由导数的几何意义可得二项式(

x

-

1

3 x

)n展开式中的常数项等于-10或10．再根据二项式的展开式通项公式可得 n=5，
由此求得 (

x

-

1

3 x

)n=(

x

-

1

3 x

)5 展开式中系数最大的项的项数．

解答：解：把点P的坐标代入抛物线方程可得 24=m²+2m，求得m=-6，或 m=4，
故抛物线y=x²+2x在P（m，24）处的切线（P点为切点）的斜率为2m+2=-10，或10．
故二项式(

x

-

1

3 x

)n展开式中的常数项等于-10或10．
二项式的展开式通项公式为 T_r+1=

C

r n

•x

n-r

2

•（-1）^r•x-

r

3

=（-1）^r•

C

r n

•x

3n-5r

6

，
令3n-5r=0，r=

3n

5

，再由r为自然数，（-1）^r•

C

r n

=±10，可得 n=5．
故 (

x

-

1

3 x

)n=(

x

-

1

3 x

)5 展开式中系数最大的项为 （-1）²•

C

2 5

•x

15-10

6

，故(

x

-

1

3 x

)n展开式中系数最大的项的项数是3，
故选B．

点评：本题主要考查导数的几何意义，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．