Question

9．已知cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（0，$\frac{π}{4}$），求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（$\frac{π}{4}$-α）和cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，再利用两角差的正弦公式，求得sin（α+β）的值．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（0，$\frac{π}{4}$），cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=-$\frac{4}{5}$．
由$\frac{π}{4}$+β∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，可得cos（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=sin（$\frac{π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{12}{13}•\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}•（-\frac{4}{5}）$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．