Question

17．设z₁=2x+1+（x²-3x+2）i，z₂=x²-2+（x²+x-6）i（x∈R）．
（1）若z₁是纯虚数，求实数x的取值范围；
（2）若z₁＞z₂，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的基本概念，列出方程求解即可．
（2）解法一．利用复数是实数求出x的值，然后判断即可．
解法二：利用复数是实数以及不等式列出混合组，判断求解即可．

解答 解：（1）依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{2x+1=0}\\{{x^2}-3x+2≠0}\end{array}}\right.$---------------------（2分）
$⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{（x-1）（x-2）≠0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{x≠1且x≠2}\end{array}}\right.$----------------------（4分）$⇒x=-\frac{1}{2}$
所以实数x的取值范围是$x=-\frac{1}{2}$----------------------（6分）
（2）解一、依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-3x+2=0}\\{{x^2}+x-6=0}\end{array}}\right.$-------------------（8分）$⇒\left\{{\begin{array}{l}{（x-1）（x-2）=0}\\{（x+3）（x-2）=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=1或x=2}\\{x=-3或x=2}\end{array}}\right.$
所以x=2----------------------（10分）
检验：当x=2时，${z_1}=2×2+1=5，{z_2}={2^2}-2=2$，满足z₁＞z₂符合题意．
所以实数x的取值范围是x=2----------------------------（12分）
解二、依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x-6=0}\\{{x^2}-3x+2=0}\\{2x+1＞{x^2}-2}\end{array}}\right.$-------------------（9分）$\begin{array}{l}\\⇒\left\{{\begin{array}{l}{（x+3）（x-2）=0}\\{（x-1）（x-2）=0}\\{（x-3）（x+1）＜0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=-3或x=2}\\{x=1或x=2}\\{-1＜x＜3}\end{array}⇒x=2}\right.\end{array}$
所以实数x的取值范围是x=2-------------------（12分）

点评 本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，是基础题．