Question

已知函数f（x）=x-a^x（a＞O，且a≠1）．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）存在最大值g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，求出切线斜率，切点坐标，即可求出曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，求出函数f（x）存在最大值g（a），再求g（a）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x-3^x，
∴f′（x）=1-3^xln3，
∴f′（1）=1-3ln3，
∵f（1）=-2，
∴曲线f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y+2=（1-3ln3）（x-1），即y=（1-3ln3）x-3+3ln3；
（Ⅱ）f′（x）=1-a^xlna．
①0＜a＜1时，a^x＞0，lna＜0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在R上为增函数，f（x）无极大值；
②a＞1，设f′（x）=0的根为t，则a^t=

1

lna

，即t=

ln 1 lna

lna

，
∴f（x）在（-∞，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，
∴f（x）的极大值为f（t）=t-a^t=

ln 1 lna

lna

-

1

lna

，即g（a）=

ln 1 lna

lna

-

1

lna

，
∵a＞1，∴

1

lna

＞0．
设h（x）=xlnx-x，x＞0，则h′（x）=lnx=0得x=1，
∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴h（x）的最小值为h（1）=-1，即g（a）的最小值为-1，此时a=e．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．