Question

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2AD=2，点E、F分别为C₁D₁、A₁B的中点：
（1）求证：EF∥平面BB₁C₁C
（2）求二面角B₁-A₁B-E的大小．

Answer 1

分析：以D为原坐标，棱DA、DC、DD₁，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
（1）利用向量的运算可得

EF

=

C1B

+

1

2

CC1

，于是EF在平面BB₁C₁C内或EF∥平面BCC₁B₁，而EF?平面BB₁C₁C，可得EF∥平面BB₁C₁C．
（2）分别求出两个平面的法向量，再求出其夹角即可得出二面角的大小．

解答：解：以D为原坐标，棱DA、DC、DD₁，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（1，0，2），B₁（1，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），B（1，2，0），C（0，2，0），
（1）∵E，F分别为C₁D₁、A₁B的中点，∴E（0，1，2），F（1，1，1），

EF

=（1，0，-1），

C1B

=（1，0，-2），

CC1

=（0，0，2），
∴

EF

=

C1B

+

1

2

CC1

，
∴EF在平面BB₁C₁C内或EF∥平面BCC₁B₁，
∵EF?平面BB₁C₁C，∴EF∥平面BB₁C₁C．
（2）由（1）得

A1E

=（-1，1，0），

A1B

=（0，2，-2），
设

m

=（x，y，z）是平面A₁BE的一个法向量，
则

A1E • m =0 A1B • m =0

，∴

-x+y=0 2y-2z=0

，∴

y=x y=z

，
取x=1，得平面A₁BE的一个法向量为

m

=（1，1，1），
又DA⊥平面A₁B₁B，∴

DA

=（1，0，0）是平面A₁B₁B的一个法向量，
∵cos?

m

，

DA

＞=

m• DA

| m || DA |

=

1

3

=

3

3

，且二面角B₁-A₁B-E为锐二面角，
∴二面角B₁-A₁B-E的大小为arccos

3

3

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的大小的方法、平面向量基本定理、线面平行的判定定理等是解题的关键．