Question

已知A={x|x²-9＜0}，B={x|

6

2-x

＜1}，C={x|x²-3kx+2k²＜0}，请问是否存在实数k使A∩B⊆C恒成立，若存在，试确定实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：本题是一元二次不等式、分式不等式与集合包含关系、交集运算相结合的题目，需要对集合C进行分类讨论，得出实数k的取值范围

解答： 解：∵A={x|x²-9＜0}，B={x|

6

2-x

＜1}，
∴A={x|-3＜x＜3}，B={x|x＜-4或x＞2}
∴A∩B={x|2＜x＜3}
又∵C={x|x²-3kx+2k²＜0}，
∴当k=0时，C=∅，不满足A∩B⊆C；
当k＞0时，C={x|k＜x＜2k}，若A∩B⊆C，只需满足不等式组

2k≥3 k≤2

，即

3

2

≤k≤2；
当k＜0时，C={x|2k＜x＜k}，显然不满足A∩B⊆C．
综上所述，

3

2

≤k≤2

点评：本题主要考查集合的包含基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的包含关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．