Question

7．已知函数f（x）=$2cos（2x+\frac{π}{6}）$，（x∈R）给出下面四个命题，
①函数f（x）的最小正周期为2π
②函数f（x）的图象关于点$（\frac{π}{6}，0）$对称
③函数f（x）的图象可由y=2cos2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到
④函数$f（x+\frac{π}{6}）$是奇函数，
以上正确的命题是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性以及它们的图象的对称性，得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=$2cos（2x+\frac{π}{6}）$，它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，故①不正确．
当x=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）=2cos$\frac{π}{2}$=0，故函数f（x）的图象关于点$（\frac{π}{6}，0）$对称，故②正确．
y=2cos2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=2cos2（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），故③不正确．
函数$f（x+\frac{π}{6}）$=2cos[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x，是奇函数，故④正确．
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性以及它们的图象的对称性，属于基础题．