Question

18．方程-sinx=（$\frac{1}{2}$）^x在区间（0，100π）内解的个数是（　　）

• A． 98
• B． 100
• C． 102
• D． 200

Answer 1

分析 分别讨论函数y=-sinx与y=（ $\frac{1}{2}$）^x的单调性与最值，可得y=-sinx与y=$（\frac{1}{2}）^{x}$在区间（0，2π）上有两个零点，然后判断方程解的个数．

解答 解：∵函数y=-sinx在（0，$\frac{π}{2}$），（$\frac{3π}{2}$，2π）上是减函数、在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上是增函数，-sin0=-sin2π=0，-sin$\frac{π}{2}$=-1，-sin$\frac{3π}{2}$=1
∴函数y=-sinx在x=$\frac{3π}{2}$有最大值1，在x=$\frac{π}{2}$处有最小值为-1
又∵y=（$\frac{1}{2}$）^x在区间（0，100π）上为减函数，x＞0时，y∈（0，1），
∴y=-sinx与y=$（\frac{1}{2}）^{x}$在区间（0，2π）上有两个零点，
在x∈（0，100π）y=-sinx有50个周期，方程-sinx=（$\frac{1}{2}$）^x在区间（0，100π）内解的个数共有100个．
故选：B．

点评 本题给出含有三角函数和指数的函数，讨论函数在区间（0，2π）上的零点个数．着重考查了函数的图象与性质、基本初等函数的单调性与最值等知识，属于中档题．