已知向量$\overrightarrow{a}$=.向量$\overrightarrow{b}$=.函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$．的单调递减区间,图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度.得到函数y=g在区间[0.$\frac{π}{4}$]上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），向量$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

分析（1）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间．
（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质可求sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，从而得解．

解答解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间为：[k$π+\frac{π}{3}$，k$π+\frac{5π}{6}$]，k∈Z；…6分
（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴函数y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的值域为[$\frac{1}{2}$，1]…12分

点评本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的单调性，平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．

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	C．	x=$\frac{2}{5}$，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$方向相反		D．	x=-$\frac{2}{5}$，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{a}$方向相反

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	A．	向左平移$\frac{5π}{6}$个单位长度		B．	向右平移$\frac{5π}{6}$个单位长度
	C．	向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度		D．	向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度

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