Question

10．对于n∈N^*，将n表示为n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，i=0时，a_i=1，当1≤i≤k时，a_i为0或1，记I（n）为上述表示中a_i为0的个数；例如4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，11=1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰，故I（4）=2，I（11）=1；则2^I（1）+2^I（2）+…+2^I（254）+2^I（255）=3280．

Answer 1

分析 将n分为128≤n≤255，64≤n≤127，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案，

解答 解：255=1×2⁷+1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
设128≤n≤255，且n为整数；
则n=1×2⁷+a₁×2⁶+a₂×2⁵+a₃×2⁴+a₄×2³+a₅×2²+a₆×2¹+a₇×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇中7个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C₇⁰种情况，即有C₇⁰个I（n）=7；
其中有一个为1时，有C₇¹种情况，即有C₇¹个I（n）=6；
其中有2个为1时，有C₇²种情况，即有C₇²个I（n）=5；
…
综上可得：$\sum _{n=128}^{255}$ 2^I（n）=C₇⁰2⁷+C₇¹×2⁶+C₇²×2⁵+C₇³×2⁴+C₇⁴×2³+C₇³×2²+C₇⁶×2+1=（2+1）⁷=3⁷，
同理可得：$\sum _{n=64}^{127}$2^I（n）=3⁶，
…
$\sum _{n=2}^{3}$2^I（n）=3¹，
2^I（1）=1；
则2^I（1）+2^I（2）+…+2^I（254）+2^I（255）=1+3+3²+…+3⁷=$\frac{{3}^{8}-1}{3-1}$=3280；
故答案为：3280；

点评 解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义，及$\sum _{n=128}^{255}$ 2^I（n）的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．