Question

已知函数f（x）=x+

m

|x|

-1（x≠0）．
（1）当m=1时，判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明；
（2）当m＞0时，讨论并求f（x）的零点．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数零点的判定定理

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）在（-∞，0）上为增函数．运用函数的单调性的定义加以证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）讨论当x＞0时，当0＜m＜

1

4

时，当m=

1

4

时，当m＞

1

4

时，以及当x＜0时，通过二次方程解的情况，即可判断零点个数．

解答： 解：（1）f（x）在（-∞，0）上为增函数．
理由如下：令x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-1-（x₂-

1

x2

-1）
=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

），
由x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，则有f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x））在（-∞，0）上为增函数；
（2）当x＞0时，f（x）=x+

m

x

-1=0，x²-x+m=0，△=1-4m，
当0＜m＜

1

4

时，x=

1± 1-4m

2

；当m=

1

4

时，x=

1

2

；当m＞

1

4

时，方程无实数解．
当x＜0时，f（x）=x-

m

x

-1=0，x²-x-m=0，△=1+4m＞1（m＞0），
解得，x=

1- 1+4m

2

．
综上可得，当0＜m＜

1

4

时，f（x）有三个零点，分别为

1- 1+4m

2

，

1- 1-4m

2

，

1+ 1-4m

2

；
当m=

1

4

时，f（x）有两个零点，分别为

1

2

，

1- 2

2

；
当m＞

1

4

时，f（x）有一个零点，则为

1- 1+4m

2

．

点评：本题考查函数的单调性的判断以及证明，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．