Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x≤0}\\{2{x}^{2}-lnx，x＞0}\end{array}\right.$，若函数y=f（x）-a恰有一个零点，则a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$-ln$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，根据函数图象得出a的范围．

解答 解：当x＞0时，f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-1}{x}$，
∴当0$＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，当x$＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得极小值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-ln$\frac{1}{2}$，
作出f（x）的函数图象，如图所示：

∵函数y=f（x）-a恰有一个零点，
∴0≤a＜$\frac{1}{2}-$ln$\frac{1}{2}$．
故答案为：[0，$\frac{1}{2}-$ln$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．