Question

3．求定积分$∫\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}\frac{dx}{{x}^{2}-2x-3}$．

Answer 1

分析 方法一：将被积函数裂项，根据定积分的运算，即可求得答案．
方法二：化简，$∫\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}\frac{dx}{{x}^{2}-2x-3}$=${∫}_{1}^{2}$$\frac{d（x-1）}{（x-1）^{2}-{2}^{2}}$，利用不定积分公式，求得原函数，代入即可求得答案．

解答 解：方法一：$∫\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}\frac{dx}{{x}^{2}-2x-3}$=${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{（x+1）（x-3）}$dx=${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x+1}$）dx=$\frac{1}{4}$（${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x-3}$dx-${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x+1}$dx）=$\frac{1}{4}$[${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{3-x}$d（3-x）-${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x+1}$d（x+1）]，
=$\frac{1}{4}$[ln（3-x）${丨}_{1}^{2}$-ln（x+1）${丨}_{1}^{2}$]=$\frac{1}{4}$[ln（3-2）-ln（3-1）-ln（2+1）+ln（1+1）]，
=-$\frac{ln3}{4}$，
∴$∫\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}\frac{dx}{{x}^{2}-2x-3}$=-$\frac{ln3}{4}$，
方法二：$∫\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}\frac{dx}{{x}^{2}-2x-3}$=${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{（x-1）^{2}-4}$dx=${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{（x-1）^{2}-4}$dx=${∫}_{1}^{2}$$\frac{d（x-1）}{（x-1）^{2}-4}$=${∫}_{1}^{2}$$\frac{d（x-1）}{（x-1）^{2}-{2}^{2}}$=（$\frac{1}{4}$ln丨$\frac{2-（x-1）}{2+（x-1）}$丨）${丨}_{1}^{2}$=（$\frac{1}{4}$ln丨$\frac{3-x}{1+x}$丨）${丨}_{1}^{2}$=$\frac{1}{4}$（-ln3-ln1）=-$\frac{ln3}{4}$，
∴$∫\underset{\stackrel{2}{\;}}{1}\frac{dx}{{x}^{2}-2x-3}$=-$\frac{ln3}{4}$，
利用不定积分∫$\frac{dx}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{2a}$ln丨$\frac{a-x}{a+x}$丨+C，

点评 本题考查定积分的计算，考查求原函数的方程，考查求原函数的公式，考查裂项法被奇函数的原函数，是大学高数的方法，考查计算能力，属于中档题．