Question

如图，在正三棱柱ABC A₁B₁C₁中，D为棱AA₁的中点，若截面三角形BC₁D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为（　　）

• A、16

  3

• B、8

  3

• C、4

  3

• D、

  8 3

  3

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：依题意，设底边长为a，高为b，则C₁D²=A₁D²+A₁C₁²=

b2

4

+a²，BD²=AD²+AB²=

b2

4

+a²，∠DC₁B=45°，△BC₁D的面积S=6，从而得到b²=16，a²=8，由此能求出此三棱柱的体积．

解答： 解：依题意，设底边长为a，高为b，
则在Rt△A₁DC₁中，C₁D²=A₁D²+A₁C₁²=

b2

4

+a²，
在Rt△ABD中，BD²=AD²+AB²=

b2

4

+a²，
C₁D²=BD²，C₁D=BD，∠C₁DB=90°，
∠DC₁B=∠DBC₁=

1

2

（180°-∠BDC₁）=

1

2

（180°-90°）=45°，
△BC₁D的面积S=

1

2

（BD×C₁D）=

1

2

BD²=6，
BD²=12，BD=2

3

=C₁D，
C₁B²=C₁D²+BD²=2BD²，C₁B=

2

BD=2

6

，
在Rt△BCC₁中，C₁B²=BC²+CC₁²=a²+b²=（2

6

）²=24，
a²=24-b²，
BD²=

b2

4

+a²=12，a²=12-

b2

4

=24-b²，

3b2

4

=12，b²=16，b=4，a²=24-b²=24-16=8，
△ABC为等边三角形，它的面积为

1

2

a²sin60°=2

3

，
∴此三棱柱的体积V=S_△ABC×AA₁=2

3

×4=8

3

．
故选：B．

点评：本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．