Question

18．在△ABC中，若$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，则△ABC的形状是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等边三角形
• D． 不确定

Answer 1

分析 根据等式|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，两边平方可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，从而可判定三角形ABC的形状．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|²=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|²，
∴$\overrightarrow{AB}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$²=$\overrightarrow{AB}$²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$²，
∴4$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
即△ABC是直角三角形
故选：B

点评 本题主要考查了向量基本运算，以及向量模的求解和数量积的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．